terça-feira, 12 de outubro de 2010

AS ETAPAS NA CONSTRUÇÃO DE UMA CASA E A MATEMÁTICA ENVOLVIDA

Demarcação da planta baixa da casa no terreno:

Em observações à maneira como o pedreiro inicia seu trabalho, constatouse
que a demarcação da planta baixa é a etapa que mais dedica sua atenção,
medindo e conferindo várias vezes o terreno e comparando essas medidas com as
do projeto recebido.
No projeto acompanhado, o pedreiro não teve dificuldades para corrigir o
nivelamento do terreno. Utilizando-se de estacas e de uma mangueira com água ele
se valeu de seus conhecimentos e de suas habilidades com o uso do “princípio dos
vasos comunicantes”, mesmo sem saber que o utilizava. Aliás, o mesmo ficou muito
surpreso ao saber que o “princípio dos vasos comunicantes” é um conteúdo
desenvolvido no ensino fundamental, e que durante seus estudos não lembrava de
tê-lo aprendido.
Ao demarcar as medidas da planta no terreno, o pedreiro utilizou-se apenas
das quatro operações fundamentais, pois a planta trazia todas as medidas de que
ele necessitava; então bastava que somasse ou diminuísse algumas das medidas,
ou então, que dividisse ou multiplicasse outras. Só não soube explicar o fator de
escala do projeto, e qual a sua utilidade..
Verificou-se que outros pedreiros também não souberam explicar
adequadamente o significado do fator de escala. Quando informados do significado
do fator de escala acabam por fazer da mesma mais um aliado no processo de
demarcação do terreno.

O uso do teorema de Pitágoras pelo pedreiro:

Desde o início da obra, em sua demarcação inicial, até o acabamento final
durante a colocação dos pisos, muitas vezes o pedreiro necessita da obtenção de
ângulos retos. Muitos deles porém utilizam-se do teorema de Pitágoras, sem que
tenham conhecimento desse fato e, principalmente por não conhecê-lo em sua
definição.
Ao marcarem 30 cm e 40 cm em duas laterais de paredes que se
interceptam e depois unirem esses pontos para encontrarem uma medida
equivalente a 50 cm, os pedreiros conseguem um ângulo reto, e isto é uma
aplicação prática do teorema de Pitágoras. É o que na linguagem dos pedreiros é
chamado de “deixar no esquadro”.
Veja:
Pelo teorema de Pitágoras tem-se:
50² = 30² + 40²
h² = b² + c²
hip² = cat² + cat²
Ou seja:
“O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das
medidas dos catetos.”
Esse teorema é uma relação entre as medidas dos lados de qualquer
triângulo retângulo, e foi descoberto alguns séculos antes de Cristo, comumente
conhecido por Teorema de Pitágoras.
Da mesma maneira que os antigos egípcios mediam suas terras, após as
constantes enchentes do rio Nilo, utilizando-se de uma corda com 13 nós e 12
espaços (triângulo pitagórico 3,4 e 5); o pedreiro utiliza-se dessa mesma relação
para demarcar a área a ser construída dentro do terreno.
Depois de esticada uma linha paralela (p) à frente do terreno, o pedreiro
estica uma nova linha (b), provisoriamente. Então crava uma estaca (e-1) a 3 metros
da primeira linha e, uma outra estaca (e-2), 4 metros sobre a linha paralela. Medindo
a distância (d) entre as duas estacas o valor correto deverá ser de 5 metros. Se a
medida for maior ou menor que 5 metros, a primeira estaca terá que ser deslocada
até que se consiga essa medida.
Depois de demarcada a área exterior da casa, muitos pedreiros conferem se
as medidas das mesmas “estão no esquadro” (ângulos retos), medindo suas
diagonais. É o que eles chamam de verificar o xis (ver figura a seguir).
Observe que essa é uma aplicação prática da Geometria, demonstrando que
todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

O alicerce da casa e o metro cúbico

Na construção do alicerce da casa o pedreiro começa a utilizar noções de
volume. Ele não utiliza fórmulas prontas ou conhecimentos matemáticos adquiridos
na Escola, mas a Matemática de seu dia a dia.
Após efetuar as medições e a construir as “caixarias” em forma de
paralelepípedos, o pedreiro tem que dosar as quantidades de pedra, areia e cimento
para a elaboração do concreto que será utilizado no preenchimento das mesmas.
Nessa dosagem utiliza como padrão a lata (20 litros) e o carrinho de mão (60 litros),
além da quantidade de cimento proporcional a esses materiais.

Ele sabe que o volume de suas caixarias e contra-pisos são calculados
multiplicando-se as medidas da altura, da largura e do comprimento entre si. Os
pedreiros, em sua maioria apenas utilizam o metro cúbico (m³), sempre fazendo
questão de dizer que um metro cúbico equivale a 1000 litros, ou 50 latas.
Observe a relação entre o metro cúbico (cubo) e a lata de 20 litros:
1m x 1m x1m = 1 m³ 1m³ = 1000 litros 50 x 20 litros = 1000 litros

O levantamento das paredes e a área dos tijolos

Concluído o alicerce, o próximo passo no trabalho do pedreiro é o
levantamento das paredes. Nessa etapa ele se depara com mais um problema
matemático – calcular a quantidade de tijolos necessária para a conclusão da obra.
Esse é um problema de área, mais especificamente, área de superfícies
retangulares. O pedreiro calcula a área do tijolo, multiplicando seu comprimento por
sua largura, e divide 1m² pelo produto obtido; desta maneira, calcula quantos tijolos
serão necessários para o levantamento de cada metro quadrado de parede.
Não esquecendo que a unidade das medidas tomadas devem ser as
mesmas (por exemplo: 20 cm = 0,20m), podemos demonstrar como o pedreiro
efetua seu cálculo.
Número de tijolos = ______1_______
larg x comp
Devido à experiência adquirida ao longo dos anos, a maioria dos pedreiros
já sabe, mais ou menos a quantidade necessária de tijolos, o que varia em torno de
30 a 33 tijolos por metro quadrado.
Vejamos agora o cálculo das quantidades aproximadas de tijolos por metro
quadrado, de acordo com o tamanho de cada um dos exemplares a seguir:
la
cubo ta
Tijolo 1 Tijolo 2
C = 19 cm H = 14 cm C = 20 cm H = 16 cm
T = ____1_____ T = ____1_____
0,19 x 0,14 0,20 x 0,16
T = ____1______ T = ____1______
0,0266 0,032
T = 38 tijolos p/ m² T = 31 tijolos p/ m²
Observe que os tijolos representados nas figuras acima não apresentam as
medidas de suas profundidades, pois a área considerada é sua área lateral – devido
à forma de assentamento utilizada na maioria das paredes das casas. Mas,
dependendo do tipo de cobertura da casa - laje, por exemplo – suas paredes
externas são construídas com o tijolo ¨deitado¨. Nesse caso o número de tijolos por
metro quadrado é bem maior.

A tesoura do telhado e a cobertura da casa

Depois de levantadas as paredes, o pedreiro inicia a construção do
madeiramento para a montagem da cobertura da casa. Pedreiros e carpinteiros
primeiramente levam em consideração o tipo de telha que será utilizado. Existem
vários tipos de telhas, os mais comuns são a telha francesa, a tipo colonial, a tipo
PLAN e a de fibrocimento. E, para cada uma delas existe uma porcentagem mínima
de inclinação.
A tesoura. Ao iniciar a construção do telhado, após escolher o tipo de telha,
o pedreiro deve calcular a porcentagem de inclinação do mesmo para a montagem
da ¨tesoura¨. A tesoura é uma estrutura de madeira com a forma da figura a seguir.
Veja só quantos triângulos as vigas de madeira estão formando e muitos
deles são triângulos retângulos. Os triângulos são utilizados pelos pedreiros devido
ao fato de serem polígonos que não possuem mobilidade, e quanto mais triângulos
as madeiras formarem no telhado, maior rigidez ele terá.
O cálculo da inclinação do telhado é feito por meio de uma relação entre
altura e comprimento da tesoura expresso em percentual. Por exemplo, a
porcentagem de inclinação do telhado para telhas duplan é de no mínimo 30% para
que a água da chuva possa escoar. Essa inclinação é obtida pelo pedreiro partindo
da extremidade para o topo do telhado. Para cada metro (100 cm) na horizontal,
sobe-se 30% de metro na vertical, ou seja, 30 cm.
Se a tesoura tiver 8 metros de comprimento (L) o pedreiro efetua o cálculo
da porcentagem utilizando apenas a metade (a) dessa medida, ou seja, 4 metros.
Esse cálculo é efetuado mentalmente e de forma rápida pelo pedreiro, multiplicando
essa medida pela porcentagem de inclinação do telhado. Os dois últimos números
do produto dessa multiplicação são os centímetros.

Veja o cálculo do pedreiro:
Se a medida horizontal é de 4 m, a vertical terá de medir 30% de 4m, isto é:
30 x 4 = 120 ou BH = 1,20 m
Com a medida a = 4 m e a altura BH = 1,20 m, e por meio do teorema de
Pitágoras é possível calcular o comprimento CH da viga onde serão colocadas as
telhas.
Como o triângulo BCH é retângulo, tem-se que os catetos CB e BH medem
4 m e 1,2 m, respectivamente. Para calcular a hipotenusa CH, tem-se:
CH² = 4² + 1,2² = 16 + 1,44 = 17,44
Se CH² = 17,44, então CH = √17,44
Calculando a raiz quadrada,
CH = 4,2 m
Esse exemplo é uma aplicação prática do teorema de Pitágoras na
construção do telhado, que geralmente não é utilizado por pedreiros, mas que no
presente trabalho, foi utilizado pelos alunos durante a implementação da proposta na
Escola, o que poderá ser visto mais adiante.
A cobertura da casa. Concluído o madeiramento, o pedreiro efetua o
cálculo da quantidade de telhas necessárias para a cobertura do telhado, e para isso
leva em consideração a área útil de cada tipo de telha, ou seja, a área de cobertura
real da mesma.
Cada telha duplan, por exemplo, tem um comprimento útil de 33,3 cm e uma
largura útil de 20 cm.
Mesmo sabendo que 15 telhas cobrem 1 m², o pedreiro aumenta o
comprimento e a largura do telhado no momento de calcular a quantidade de telhas,
para isso ele utiliza múltiplos de 20 cm na largura do telhado, e de 33,3 cm no
comprimento do mesmo, aproximando-se ao máximo da quantidade exata de telhas
a serem utilizadas em sua cobertura.

A colocação dos pisos e o revestimento das paredes

Na fase de acabamento da casa, durante a colocação dos pisos, o pedreiro
utiliza-se de certos conteúdos matemáticos. Entre esses conteúdos podemos
destacar o cálculo de áreas, a utilização de ângulos e retas; não esquecendo
também das quatro operações básicas, as quais estão presentes em quase todo o
desenvolvimento da obra.
Constatou-se neste trabalho que a etnomatemática do pedreiro consiste na
praticidade e na habilidade adquirida em seu dia a dia, e, em cálculos que valorizam
muito mais seus resultados práticos, do que a exatidão daqueles obtidos nessas
operações.

5 comentários:

  1. O Pedreiro utiliza a matemática de várias formas, medindo o comprimento de uma parede, calculando a quantidade de tijolos que uma parede possa ter para caber na planta, etc.

    Mas, o mais comum e mais incrível é de calcular a quantidade de pisos ou azuleijos necessário para caber no cômodo que está fazendo.

    um pedreiro usa a matematica e a geometria, mas cada pedreiro prefere fazer seu tipo de conta.
    Mas no final sempre e o mesmo resultado.

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  2. A matemática tem tudo a ver com as profissões de hoje em dia. Uma das profissões que precisa muito da matemática é a profissão pedreiro.
    Nesse texto podemos ver que a matemática é muito utilizada. Para se formar um pedreiro profissional tem que saber algumas noções de áreas úteis como: soma, subtração, divisão e multiplicação. Essas são as conta básicas.
    Mas como podemos ver no texto, é preciso também saber utilizar o teoremas de pitágoras, no texto mostra como os pedreiros fazem para construir a planta da casa, como fazem o alicerce da casa(mas claro devem sabera área dos tijolos), o metro cúbico, o levantamento das paredes, o
    a tesoura do telhado, e orevestimento da casa por dentro e por fora.
    Eu acho que o mais difícil em uma construção de uma casa é saber quanto que vai gastar de pedra, areia, cimento. Outra coisa que eu acho incrível é quando se vai colocar pisos em um cômodo tem que fazer um cálculo incluindo as medidas de largura e comprimento do piso e se for um pedreiro bom os pisos se encacham certinho no lugar, e depois é só rejuntar, o que é mais fácil até eu sei.

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  3. Nesse texto podemos ver que a matematica esta Presente em quase todas as profissões ,mais como pedreiro se usa mais , porque devemos saber quantos tijolos vamos usar , quanto de areia ,pedra e areiola .
    fazer uma casa não e facil tem que saber muito a matematica Para fazer calculos da planta da casa pra que nada sai errado ,teve alguns dias que trabalhei como ajudante de obra ,ali eu pude ter serteza que a matematica realmente esta presente nas profissões .

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  4. Bom eu axei interesante porque meu pai tbm e pedreiro e usa a matemática em muitas coisas para fazer um telhado,uma coluna e varias outras coisas e a matemática e essencial a tudo isso por isso gostei desse blog axei muito interesante, Alias a matemática e essencial pra todos as profissões mais a citada (pedreiro) é um bom exemplo de profissão do uso da matemática.

    Blog show de bola ... Ass: F.B (fabricio)

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  5. Olá amigos. Os pedreiros sõa mesmo um genio. usando as formúlas do conhecimento durante muito tempo, mais, está chegando o fim desta geração. Hoje é necessário ter um serto grau de estudo, pois as obras estão cada vez mais complicada com Digne muito complicada. Vamos estudar mais para errar menos, e ter um salario mais justo.

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